数学公式

约 1382 字大约 5 分钟

2025-06-19

基本语法

行内公式：用单个 $ 包裹，公式嵌入在行文中
独立公式：用 $$ 包裹，公式居中并独立成行

行内公式示例

质能方程 $E = mc^2$ 是物理学中最著名的公式之一。

效果：质能方程 $E = mc^2$ 是物理学中最著名的公式之一。

独立公式示例

$$
\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{n(n+1)}{2}
$$

效果：

\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{n(n+1)}{2}

希腊字母

小写	命令	大写	命令
α	`\alpha`	Α	`\Alpha`
β	`\beta`	Β	`\Beta`
γ	`\gamma`	Γ	`\Gamma`
δ	`\delta`	Δ	`\Delta`
ε	`\epsilon`	Ε	`\Epsilon`
ζ	`\zeta`	Ζ	`\Zeta`
η	`\eta`	Η	`\Eta`
θ	`\theta`	Θ	`\Theta`
ι	`\iota`	Ι	`\Iota`
κ	`\kappa`	Κ	`\Kappa`
λ	`\lambda`	Λ	`\Lambda`
μ	`\mu`	Μ	`\Mu`
ν	`\nu`	Ν	`\Nu`
ξ	`\xi`	Ξ	`\Xi`
π	`\pi`	Π	`\Pi`
ρ	`\rho`	Ρ	`\Rho`
σ	`\sigma`	Σ	`\Sigma`
τ	`\tau`	Τ	`\Tau`
υ	`\upsilon`	Υ	`\Upsilon`
φ	`\phi`	Φ	`\Phi`
χ	`\chi`	Χ	`\Chi`
ψ	`\psi`	Ψ	`\Psi`
ω	`\omega`	Ω	`\Omega`

大写希腊字母：将命令首字母大写即可，如 \Gamma 呈现为 $\Gamma$ 。
斜体希腊字母：在命令前加上 var 前缀，如 \varGamma 呈现为 $\varGamma$ 。

字母修饰

上下标

上标：^
下标：_

C_n^2 呈现为 $C_n^2$

矢量

\vec{a}     → $\vec{a}$
\overrightarrow{AB} → $\overrightarrow{AB}$

字体样式

样式	命令	效果
打字机	`\mathtt{A}`	$\mathtt{A}$
黑板粗体	`\mathbb{A}`	$\mathbb{A}$
无衬线	`\mathsf{A}`	$\mathsf{A}$
花体	`\mathcal{A}`	$\mathcal{A}$
粗体	`\mathbf{A}`	$\mathbf{A}$
斜体粗体	`\boldsymbol{A}`	$\boldsymbol{A}$

分组

使用 {} 将具有相同等级的内容扩入其中，成组处理：

10^{10} 呈现为 $10^{10}$，而 10^10 呈现为 $10^10$

括号

类型	命令	效果
小括号	`()`	$()$
中括号	`[]`	$[]$
尖括号	`\langle, \rangle`	$\langle, \rangle$
自适应括号	`\left( \right)`	$\left( \frac{x}{y} \right)$

使用 \left（或 \right）可使符号大小与邻近的公式相适应：

(\frac{x}{y})        → $(\frac{x}{y})$
\left(\frac{x}{y}\right) → $\left(\frac{x}{y}\right)$

运算符

求和、极限与积分

运算	命令	示例	效果
求和	`\sum`	`\sum_{i=1}^n a_i`	$\sum_{i=1}^n a_i$
极限	`\lim`	`\lim_{x \to 0}`	$\lim_{x \to 0}$
积分	`\int`	`\int_0^\infty f(x) dx`	$\int_0^\infty f(x) dx$
乘积	`\prod`	`\prod_{i=1}^n x_i`	$\prod_{i=1}^n x_i$

分式与根式

类型	命令	示例	效果
分式	`\frac{a}{b}`	`\frac{x+1}{x-1}`	$\frac{x+1}{x-1}$
根号	`\sqrt{x}`	`\sqrt{a^2 + b^2}`	$\sqrt{a^2 + b^2}$
n 次根	`\sqrt[n]{x}`	`\sqrt[3]{x}`	$\sqrt[3]{x}$

特殊函数

\sin x     → $\sin x$
\cos x     → $\cos x$
\tan x     → $\tan x$
\ln x      → $\ln x$
\log x     → $\log x$
\max(A,B)  → $\max(A,B)$
\min(A,B)  → $\min(A,B)$

关系运算符

符号	命令	符号	命令
±	`\pm`	×	`\times`
·	`\cdot`	÷	`\div`
≠	`\neq`	≡	`\equiv`
≤	`\leq`	≥	`\geq`
<	`<`	>	`>`
≈	`\approx`	∝	`\propto`
≪	`\ll`	≫	`\gg`

逻辑运算符

符号	命令	符号	命令
∀	`\forall`	∃	`\exists`
¬	`\neg`	∧	`\land`
∨	`\lor`	⊕	`\oplus`

集合运算符

符号	命令	符号	命令
∈	`\in`	∉	`\notin`
⊂	`\subset`	⊃	`\supset`
⊆	`\subseteq`	⊇	`\supseteq`
∪	`\cup`	∩	`\cap`
∅	`\emptyset`	ℵ	`\aleph`

其他特殊符号

符号	命令	符号	命令
∞	`\infty`	∇	`\nabla`
⊥	`\bot`	∠	`\angle`
∵	`\because`	∴	`\therefore`
′	`\'`	″	`\"`
°	`\circ`	∘	`\circ`
‰	`\permil`	√	`\surd`

空格与换行

LaTeX 语法本身会忽略空格的存在，可使用以下方式添加空格：

类型	命令	效果
小空格	`a\,b`	$a\,b$
中空格	`a\ b` 或 `a\;b`	$a\;b$
大空格	`a\quad b`	$a\quad b$
超大空格	`a\qquad b`	$a\qquad b$
换行	`\`	在独立公式中换行

矩阵

基本语法

起始标记 \begin{matrix}，结束标记 \end{matrix}。每一行末尾标记 \，行间元素之间以 & 分隔。

$$
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1 \
\end{matrix}
$$

效果：

\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ \end{matrix}

矩阵边框类型

类型	命令	效果
无边框	`matrix`	$\begin{matrix} a & b \ c & d \end{matrix}$
小括号	`pmatrix`	$\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$
中括号	`bmatrix`	$\begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$
大括号	`Bmatrix`	$\begin{Bmatrix} a & b \ c & d \end{Bmatrix}$
单竖线	`vmatrix`	$\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix}$
双竖线	`Vmatrix`	$\begin{Vmatrix} a & b \ c & d \end{Vmatrix}$

综合示例：

\begin{gathered} \begin{matrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{matrix} \quad \begin{pmatrix} 0 & -i \ i & 0 \end{pmatrix} \quad \begin{bmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 \end{bmatrix} \quad \begin{Bmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{Bmatrix} \quad \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} \quad \begin{Vmatrix} i & 0 \ 0 & -i \end{Vmatrix} \end{gathered}

也可以使用 \left[ 等方式自适应边框：

\left[ \begin{matrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{matrix} \right]

效果：

\left[ \begin{matrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{matrix} \right]

省略元素

类型	命令	效果
横省略号	`\cdots`	$\cdots$
竖省略号	`\vdots`	$\vdots$
斜省略号	`\ddots`	$\ddots$

综合示例：

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \ \end{bmatrix}

分段函数（花括号）

c(u) = \begin{cases}
\sqrt{\frac{1}{N}}, & u = 0 \
\sqrt{\frac{2}{N}}, & u \neq 0
\end{cases}

效果：

c(u) = \begin{cases} \sqrt{\frac{1}{N}}, & u = 0 \ \sqrt{\frac{2}{N}}, & u \neq 0 \end{cases}

行列式

\det(A) = \begin{vmatrix}
a & b \
c & d
\end{vmatrix} = ad - bc

效果：

\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

阵列（Array）

需要 array 环境：起始、结束处以 {array} 声明
对齐方式：在 {array} 后以 {} 逐列声明
- 左对齐：l
- 居中：c
- 右对齐：r
竖直线：在对齐声明中插入 \| 建立竖直线
水平线：使用 \hline

$$
\begin{array}{c|lll}
  & a & b & c \
\hline
R_1 & c & b & a \
R_2 & b & c & c \
\end{array}
$$

效果：

\begin{array}{c|lll} & a & b & c \ \hline R_1 & c & b & a \ R_2 & b & c & c \ \end{array}

方程组

使用 cases 环境：

$$
\begin{cases}
a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \
a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \
a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \
\end{cases}
$$

效果：

\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \ \end{cases}

多行公式对齐

使用 align 环境可以实现多行公式的对齐：

$$
\begin{align}
a &= b + c \
  &= d + e + f \
\end{align}
$$

效果：

\begin{align} a &= b + c \ &= d + e + f \ \end{align}

公式编号

使用 \tag{} 为公式添加自定义编号：

E = mc^2 \tag{1}

效果：

E = mc^2 \tag{1}